Vitesses, accélérations et forces

1. Vitesse instantanée
\[ \vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt} \]

Dérivée du vecteur position par rapport au temps

2. Accélération instantanée
\[ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2} \]

Dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps

Exemple pour un mouvement rectiligne :

\[ x(t) = 2t^2 + 3t + 1 \]
\[ v(t) = \frac{dx}{dt} = 4t + 3 \]
\[ a(t) = \frac{dv}{dt} = 4 \, \text{m/s}^2 \]
3. Mouvements particuliers
Mouvement Vitesse Accélération
Rectiligne uniforme Constante Nulle
Rectiligne uniformément varié Linéaire Constante
Circulaire uniforme Norme constante Centripète

Exercice :

Un mobile a pour équation horaire : \( x(t) = t^3 - 2t^2 + 5 \) (en m). Calculer :

  1. Sa vitesse à t = 2 s
  2. Son accélération à t = 1 s

1. Principe d'inertie (1ère loi)
\[ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \Rightarrow \vec{v} = \text{constante} \]

Un corps persévère dans son état de mouvement si la résultante des forces est nulle.

2. Principe fondamental (2ème loi)
\[ \sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a} \]

Relation entre forces appliquées et accélération.

3. Principe des actions réciproques (3ème loi)
\[ \vec{F}_{A/B} = -\vec{F}_{B/A} \]

Action et réaction sont égales et opposées.

4. Forces usuelles
Force Expression Caractéristiques
Poids \(\vec{P} = m\vec{g}\) Verticale vers le bas
Réaction normale \(\vec{R}_N\) Perpendiculaire à la surface
Tension \(\vec{T}\) Direction du fil
Frottements \(\vec{f}\) Opposée au mouvement

Exercice :

Un objet de 5 kg est tiré sur un plan horizontal par une force de 20 N. Calculer son accélération si les frottements sont négligeables.

1. Chute libre

Mouvement sous la seule action du poids :

\[ \vec{a} = \vec{g} \]

Équations du mouvement :

\[ v(t) = v_0 + gt \]
\[ z(t) = z_0 + v_0 t + \frac{1}{2}gt^2 \]
2. Plan incliné
Plan incliné

Projection du poids :

\[ P_{\parallel} = mg\sin\theta \]
\[ P_{\perp} = mg\cos\theta \]
3. Mouvement circulaire
\[ a_c = \frac{v^2}{R} = R\omega^2 \]

où \( a_c \) est l'accélération centripète

Conseil : Pour résoudre un problème de dynamique :
  1. Faire le bilan des forces
  2. Choisir un repère adapté
    3. <3>Appliquer le PFD dans chaque direction

Exercice :

Un skieur de 70 kg descend une pente de 30°. Calculer son accélération si les frottements sont négligeables.

1. Frottement solide
\[ f \leq \mu_s N \]

où :

  • \( \mu_s \) : coefficient de frottement statique
  • \( N \) : force normale
2. Frottement cinétique
\[ f_k = \mu_k N \]

où \( \mu_k \) est le coefficient de frottement cinétique

3. Résistance fluide
\[ \vec{f} = -k\vec{v} \quad \text{ou} \quad \vec{f} = -\frac{1}{2}C_x\rho Sv^2\vec{u}_v \]

Force opposée à la vitesse, dépendante de \( v \) ou \( v^2 \)

4. Vitesse limite

Lorsque la résistance de l'air compense le poids :

\[ \sum \vec{F} = \vec{0} \Rightarrow \vec{v} = \text{constante} \]
Situation Coefficient μ typique
Acier sur acier 0.5-0.8
Bois sur bois 0.2-0.5
Pneus sur route sèche 0.7-1.0
Patins sur glace 0.01-0.1

Exercice :

Une voiture de 1200 kg freine sur une route horizontale (μ = 0.6). Calculer :

  1. La force de frottement maximale
  2. La distance de freinage si v₀ = 90 km/h