Travail d'une force, théorème de l'énergie cinétique

1. Définition générale
\[ W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \times AB \times \cos(\theta) \]

où θ est l'angle entre la force et le déplacement

2. Cas particuliers
Type de force Travail Explication
Force motrice (θ = 0°) \( W = +F \times AB \) Travail moteur
Force résistante (θ = 180°) \( W = -F \times AB \) Travail résistant
Force perpendiculaire (θ = 90°) \( W = 0 \) Pas de travail
3. Travail du poids
\[ W_{AB}(\vec{P}) = mg(z_A - z_B) \]

Ne dépend que de la différence d'altitude

Exemple :

Un objet de 2 kg tombe de 10 m de hauteur. Travail du poids :

\[ W = 2 \times 9.81 \times 10 = 196.2\, \text{J} \]

Exercice :

Une force de 50 N tire une caisse sur 10 m avec un angle de 30° par rapport au déplacement. Calculer son travail.

1. Définition
\[ E_c = \frac{1}{2}mv^2 \]

où :

  • \( E_c \) : énergie cinétique (J)
  • \( m \) : masse (kg)
  • \( v \) : vitesse (m/s)
2. Théorème de l'énergie cinétique
\[ \Delta E_c = E_{cB} - E_{cA} = \sum W_{AB}(\vec{F}_{ext}) \]

Variation d'énergie cinétique = somme des travaux des forces extérieures

Exemple :

Un objet de 5 kg passe de 2 m/s à 6 m/s sous l'action d'une force :

\[ \Delta E_c = \frac{1}{2} \times 5 \times (6^2 - 2^2) = 2.5 \times (36 - 4) = 80\, \text{J} \]
3. Applications
  • Calcul de vitesse après un déplacement
  • Détermination de force moyenne
  • Étude des systèmes avec frottements

Exercice :

Une voiture de 1000 kg roulant à 72 km/h freine et s'arrête sur 50 m. Calculer :

  1. Son énergie cinétique initiale
  2. La force de freinage moyenne

1. Définition
\[ P = \frac{W}{\Delta t} = \vec{F} \cdot \vec{v} \]

où :

  • \( P \) : puissance (W)
  • \( W \) : travail (J)
  • \( \Delta t \) : durée (s)
  • \( \vec{v} \) : vitesse instantanée
2. Cas particuliers
Situation Expression
Force parallèle au déplacement \( P = F \times v \)
Moteur électrique \( P = U \times I \)
Rendement énergétique \( \eta = \frac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{reçue}}} \)

Exemple :

Un moteur soulève une charge de 100 kg à 2 m/s. Puissance nécessaire :

\[ P = mgv = 100 \times 9.81 \times 2 = 1962\, \text{W} \]

Exercice :

Une voiture développe une force motrice de 1500 N à 90 km/h. Calculer sa puissance en kW.

1. Chute libre avec frottements

Équation du mouvement avec vitesse limite :

\[ m\frac{dv}{dt} = mg - kv \]

Vitesse limite lorsque \( \frac{dv}{dt} = 0 \) :

\[ v_{\text{lim}} = \frac{mg}{k} \]
2. Systèmes avec ressorts
\[ W = \frac{1}{2}k(x_1^2 - x_2^2) \]

où \( k \) est la constante de raideur (N/m)

3. Bilan énergétique complet
\[ \Delta E_c + \Delta E_p + \Delta E_{\text{therm}} = W_{\text{ext}} \]

Conservation de l'énergie mécanique si pas de frottements

Méthode : Pour résoudre un problème énergétique :
  1. Faire le bilan des forces
  2. Calculer les travaux
  3. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique
  4. Vérifier les conversions d'énergie

Exercice :

Un skieur de 70 kg part sans vitesse initiale du haut d'une pente de 50 m. En bas, sa vitesse est de 25 m/s.

  1. Calculer l'énergie perdue par frottement
  2. En déduire la force de frottement moyenne si la pente fait 100 m de long